Розв’яжіть рівняння 5sin ^ 2x-3sinxcosx = 4

Розв'яжіть рівняння 5sin ^ 2x-3sinxcosx = 4

  •  5 \ sin ^ 2x-3 \ sin x \ cos x = 4

    Основне тригонометричну тотожність: 1 = \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2x

    У правій частині рівняння число 4 можна уявити як 4 \ cdot 1, тобто якщо підставити основне тригонометричну тотожність, отримаємо:

    5 \ sin ^ 2 x-3 \ sin x \ cos x = 4 (\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2x)
    Розкриваємо дужки і спрощуємо

     5 \ sin ^ 2 x-4 \ sin ^ 2 x-3 \ sin x \ cos x-4 \ cos ^ 2 x = 0 \\ \ sin ^ 2 x-3 \ sin x \ cos x-4 \ cos ^ 2x = 0
    Розділимо обидві частини рівняння на \ cos ^ 2 x,отримаємо:

     \ frac {\ sin ^ 2x} {\ cos ^ 2x} -3 \ cdot \ frac {\ sin x} {\ cos x} -4 = 0

    Очевидно, що \ Frac {\ sin x} {\ cos x} = tg x, тоесть отримуємо:
    tg ^ 2x -3tg x-4 = 0

    зробимо заміну
    нехай tg x = t \, \, (t \ in R), отримуємо
    t ^ 2-3t-4 = 0

    За т. Вієта:
    t_1 = 4 \\ t_2 = -1

    Повертаємося до заміни
    tg x = 4 \\ x = arctg (4) + \ pi n, n \ in Z \\ \\ tg x = -1 \\ x = arctg (-1) + \ pi n, n \ in Z \\ x = - \ frac {\ pi} {4} + \ pi n, n \ in Z